Het drie deurenprobleem: de kansberekening

Op het internet kom je heel veel hersenkrakers tegen. Binnen een paar seconden moet je zo snel mogelijk een dier, voorwerp of de uitkomst van een som vinden. Maar stel nu dat je aan een spelprogramma meedoet en voor drie gesloten deuren staat. Achter twee deuren bevindt zich een roos, achter één deur een gloednieuwe auto. Je mag maar één deur uitkiezen. Welke wordt het?

Het Monty Hall probleem

Het drie deurenprobleem staat ook wel bekend als het Monty Hall probleem. Het gaat hier om een kansberekening en speltheorie. Volgens deze kansberekening maak je het jezelf mogelijk om in tweederde van de gevallen de auto te winnen.

Je kiest de eerste deur

Laten we er even vanuit gaan dat je de eerste gesloten deur kiest. Ja je moet toch wat! De presentator van het spel opent vervolgens de derde deur. Hierachter staat een roos. Dit betekent dat de auto achter deur 1 of deur 2 staat.

Nu wordt het spannend want hoewel je deur 1 hebt gekozen mag je van de presentator nog ruilen. Wat is je keuze? Hieronder drie mogelijkheden.

• Ik blijf bij mijn keuze, deur  1 is het voor mij: ik weet het zeker!
• Nu twijfel ik dus ik verander en kies voor deur 2
• Volgens mij heb ik een kans van 50/50, het maakt dus niet uit wat ik doe en daarom verander ik niet

De oplossing van dit probleem

Heb je een keuze gemaakt? Waarschijnlijk weet je zeker dat dit de juiste keuze is. Ben je bij de eerste deur gebleven? Ondanks dat je een kans van 1/2 zou hebben is dit een foute gedachte. Door bij je eerste keuze te blijven verklein je namelijk je winkans.

Wanneer achter deur 3 een roos staat en je hebt voor deur 1 gekozen, dan is het beter om te wisselen en voor deur 2 te gaan. Hiermee gaat je winkans van 1/3 naar 2/3.

Uitleg over deze kansberekening

De oplossing van het drie deurenprobleem zit hem voornamelijk in de kennis van de presentator. In veel spelprogramma’s heeft de presentator wel degelijk kennis van het feit waar de auto zich bevindt. Laten we even drie verschillende situaties erbij nemen.

Je hebt deur 1 gekozen en de auto staat achter deur 2. In dit geval MOET de presentator de derde deur met de roos openen. De uitslag is dat de auto achter deur 2 staat en wisselen zeer verstandig is.

Je hebt deur 1 gekozen en de auto staat achter deur 3. De presentator kan deur 3 NIET openen en moet dus wel de tweede deur openmaken. In dit geval is het ook weer verstandig om van deur 1 naar deur 3 te wisselen.

Je hebt deur 1 gekozen en hierachter staat de auto. De presentator kan nu een andere willekeurige deur openen (nummer 2 of 3). Wanneer je in dit geval ruilt krijg je geen auto maar een roos.

Conclusie: je weet van tevoren niet waar de auto staat. Maar zoals je hierboven ziet levert wisselen je in twee van de drie gevallen een auto op.

Het verdubbelen van je kansen

Wanneer je aan het begin van het spel een deur uitkiest dan is de kans dat je wint 1/3. Opent de presentator een deur met hierachter een roos en je wisselt van deur, dan is de kans dat je wint plotseling 2/3. Maar dit betekent dat er nog steeds een kans van 1/3 overblijft dat je verliest. Uiteindelijk blijft het toch een gok.

Wat gebeurt er wanneer de presentator niet weet waar de auto staat?

Eigenlijk komt het nooit voor dat de presentator onwetend is over de plek van de auto. Zou hij het namelijk niet weten dan is er een kans van 1/3 dat hij als eerste de deur met hierachter de auto opent. Een spelprogramma geeft liever geen auto weg dus ze zullen dit altijd proberen te voorkomen.

Mocht de presentator echt niet weten waar de auto staat, dan krijg je een heel andere situatie. En dat is als volgt:

• Je hebt deur 1 gekozen en de presentator opent deur 3 met hierachter de auto. Je winkans is nul.
• Je hebt deur 1 gekozen en de presentator opent deur 3 met hierachter een roos. Je winkans is in dit geval 1/3, maar wanneer je van deur wisselt is dit 2/3.

Het vervelende is dat je van tevoren niet weet of de presentator kennis heeft van de plek van de auto. Toch is het goed om te weten dat presentatoren dit in 99% van de gevallen WEL hebben.

Bronnen en referenties:
Driedeurenprobleem op Wikipedia.
Gnedin, Sasha, The Mondee Gills Game. The Mathematical Intelligencer, 2011.